Geometría Analítica: concepto, aplicaciones, fórmulas y características

La geometría analítica es una de las ramas de las matemáticas que se dedica al estudio de las figuras geométricas y todos los datos que puede obtenerse de ellas como son las distancias, volúmenes, áreas, ángulos de inclinación y los puntos de intersección, entre otras cosas.

Desde su creación, la geometría analítica mezcla técnicas de análisis matemático y de álgebra, y permitió obtener la ecuación del lugar geométrico de un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas.

Dependiendo de dicha ecuación se puede determinar la representación gráfica de los puntos que la verifican. Asimismo, esta rama de las matemáticas también permite la representación e interpretación geométrica del álgebra.

Para realizar dicho procedimiento, la geometría analítica utiliza un sistema de coordenadas popularmente conocido como “plano cartesiano”. Un plano bidimensional compuesto por dos ejes: el eje horizontal X y el eje vertical Y, que permiten el estudio de todas las figuras geométricas.

En tanto, para poder localizar cada uno de los puntos que forman la figura previamente se le asigna a cada punto un lugar puntual de las coordenadas. Los ejes X e Y son perpendiculares, por lo que juntos forman cuatro ángulos de 90 grados en su intersección.

¿Cuáles son las fórmulas de la geometría analítica?

La geometría analítica estudia las figuras geométricas y obtiene las ecuaciones básicas de cada una de ellas, como son las rectas, los círculos y las hipérbolas, entre otros.

Estas ecuaciones le permiten a la persona iniciar la búsqueda de datos como las distancias, volúmenes, áreas, ángulos de inclinación y los puntos de intersección, entre otras cosas.

Algunas de las ecuaciones básicas de las siguientes figuras geométricas:

• Las rectas, que se expresan con la fórmula: ax + by = c.
  
• Las rectas verticales, que se expresan con la fórmula: x = x0
  
• Las rectas horizontales, que se expresan con la fórmula: y = y0
  
• Los círculos, que se expresan con la fórmula: x2 + y2 = 4.
  
• Las hipérbolas, que se expresan con la fórmula: xy = 1.
  
• Las parábolas, que se expresan con la fórmula: y = ax2 + bx + c.
  
• Las elipses, que se expresan con la fórmula: (x2/a2) + (y2/b2) = 1.
  

Aplicaciones de la geometría analítica

Desde su nacimiento en el siglo XVII, la geometría analítica es utilizada cotidianamente por millones de personas, ya sea para obtener un dato matemático o para crear grandes edificaciones que hoy son vistas como monumentos históricos en algunas ciudades.

Con el avance de la tecnología, la geometría analítica mutó y hoy es utilizada en planos tridimensionales para diseñar edificios o crear animaciones y proyectos de diseño digital en la computadora.

Uno de los ejemplos más claros son los puentes colgantes en las grandes ciudades, desde los más antiguos hechos con madera hasta los actuales realizados con cables de acero. Para cada uno de ellos, un especialista debió aplicar la geometría analítica de la parábola para crearlos.

Lo mismo sucede con las antenas parabólicas que se utilizan para obtener la información satelital. Para ellas también debió utilizarse la ecuación de la parábola, ya que gracias a esto pudo lograrse que el disco de la antena refleje la señal satelital.

En ese sentido, la geometría analítica también se utilizó para la observación astronómica. Fue aplicada por Johannes Kepler, quien determinó que los cuerpos celestes orbitan en una trayectoria que describe una elipse y no una circunferencia como creía Nicolás Copérnico.

¿Cuándo surgió la geometría analítica?

Una de las primeras personas que escribió sobre la geometría analítica fue el filósofo francés René Descartes (1596-1650), con el popular “La Geometrie” en su obra “Discurso del método”. Sin embargo, también se considera al geómetra Pierre de Fermat (1607-1665) como uno de los pioneros en el estudio y la difusión de esta rama de la matemática en el siglo XXII.

Ambos sostenían que las rectas y las figuras geométricas pueden ser expresadas con ecuaciones, que al mismo tiempo permiten buscar e identificar algunos datos de la forma geométrica correspondiente. Además, también descubrieron que dichas ecuaciones también pueden graficarse como líneas o figuras geométricas.

Otro de los pioneros en la geometría analítica fue el matemático holandés Franz van Schooten (1615-1660), quien fue uno de los primeros en desarrollar el tema en Europa. Incluso llegó a definirla como la “geometría cartesiana”.